△ Géométrie & Trigonométrie
Ce qu'il faut savoir
- Pythagore et sa réciproque
- Thalès et sa réciproque
- Trigonométrie du triangle rectangle
\(\cos A=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hyp}}\) · \(\sin A=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hyp}}\) · \(\tan A=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)
Utiliser la trigonométrie
- Identifier le triangle rectangle et l'angle donné
- Repérer les côtés : adjacent, opposé, hypoténuse
- Choisir la bonne formule (cos, sin ou tan)
- Résoudre pour trouver la longueur manquante
Appliquer Thalès
- Identifier les droites parallèles
- Écrire l'égalité des rapports \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)
- Résoudre pour l'inconnue
Pièges fréquents
- Bien identifier quel côté est adjacent, opposé, et l'hypoténuse selon l'angle choisi
- La calculatrice doit être en mode "degrés"
✏️ Exemple type
Triangle rectangle en B, AB=8, angle A=30° : \(BC=AB\times\tan(30°)\approx4{,}6\)
ax² Calcul du second degré
Ce qu'il faut savoir
- Une équation produit-nul : \(A\times B=0 \Leftrightarrow A=0\) ou \(B=0\)
- Factoriser un trinôme \(x^2+bx+c\) en cherchant deux nombres de somme \(-b\) et produit \(c\)
- Résoudre une équation du 2nd degré en la factorisant d'abord
- Étudier le signe d'un produit de facteurs
\(x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)\) si \(x_1+x_2=-b\) et \(x_1 x_2=c\)
Résoudre une équation du 2nd degré par factorisation
- Chercher deux nombres \(x_1,x_2\) de somme \(-b\) et produit \(c\)
- Écrire \(x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)\)
- Un produit est nul si l'un des facteurs est nul
- Les solutions sont \(x_1\) et \(x_2\)
Pièges fréquents
- Vérifier la factorisation en redéveloppant : on doit retrouver l'expression de départ
- Ne pas oublier une des deux solutions (le produit s'annule pour chaque facteur)
✏️ Exemple type
\(x^2-5x+6=0\) : on cherche deux nombres de somme 5 et produit 6 → 2 et 3. Donc \((x-2)(x-3)=0\) → \(x=2\) ou \(x=3\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
Triangle rectangle en B, \(AB=6\), \(BC=8\). Calcule \(AC\).
~3 lignes
Exercice 2★ Facile
Développe \((x+4)^2\).
~2 lignes
Exercice 3★ Facile
Développe \((x-3)(x+3)\).
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
Résous \(x^2-4=0\).
~3 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Factorise \(x^2-5x+6\) en cherchant deux nombres de somme 5 et produit 6.
~2 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Factorise \(x^2+2x+1\) (reconnais une identité remarquable).
~2 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
(DE)∥(BC), \(AD=3\), \(AB=9\), \(AE=4\). Calcule \(AC\) (Thalès).
~4 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
Un triangle a pour côtés 3, 4 et 5. Est-il rectangle ?
~3 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
Résous \(x^2-5x+6=0\) (indice : factorise en cherchant deux nombres de somme 5 et produit 6).
~4 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Développe \((2x-1)^2\).
~2 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Factorise \(x^2-16\).
~2 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Résous \(x^2+2x+1=0\) (indice : identité remarquable).
~3 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
(DE)∥(BC), \(AD=4\), \(DB=2\), \(AE=6\). Calcule \(EC\).
~5 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Développe et réduis \((x+2)^2-(x-2)^2\).
~4 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Triangle rectangle en B, angle \(\hat{A}=45°\), \(AB=10\). Calcule \(BC\).
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
Triangle rectangle en B, angle \(\hat{A}=30°\), \(AB=10\). Calcule \(BC\) (arrondi au dixième).
~3 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Résous \(x^2+3x-10=0\) (cherche deux nombres de somme −3 et produit −10).
~5 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Triangle rectangle en A, angle \(\hat{B}=60°\), \(AB=6\) (adjacent à B). Calcule \(BC\) (hypoténuse).
~4 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Résous \(x^2-6x+9=0\).
~3 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Résous \(x^2-2x-15=0\) (cherche deux nombres de somme 2 et produit −15).
~3 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Factorise \(x^2+7x+12\) en cherchant deux nombres de somme 7 et produit 12.
~3 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
Vérifie que \((x-3)(x-4)=x^2-7x+12\) en développant le produit.
~3 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Triangle avec \(AB=13\), \(AC=5\), \(BC=12\). Est-il rectangle ?
~4 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
(DE)∥(BC), \(AD=5\), \(AB=8\), \(AC=12\). Calcule \(AE\).
~4 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) Résous \(x^2-9=0\).
~3 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Développe \((3x+2)^2\).
~2 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Résous \(x^2-3x-4=0\).
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Triangle rectangle en A, angle \(\hat{B}=60°\), \(BC=10\) (hypoténuse). Calcule \(AB\).
~4 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Factorise \(x^2+5x+6\) en cherchant deux nombres de somme 5 et produit 6.
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) (DE)∥(BC), \(AD=6\), \(AB=10\), \(AC=15\). Calcule \(AE\), puis calcule \(DE\) sachant que \(BC=20\).
~6 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Factorise \(x^2-8x+15\).
~4 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Pythagore, AB=6, BC=8
1\(AC^2=6^2+8^2=36+64=100\)
✅ AC = 10
Ex 4 · Résoudre \(x^2-4=0\)
1\(x^2=4\)
✅ x = 2 ou x = −2
Ex 7 · Thalès AD=3, AB=9, AE=4
1\(\dfrac{3}{9}=\dfrac{4}{AC}\)
✅ AC = 12
Ex 8 · Triangle 3,4,5 rectangle ?
1\(5^2=25\), \(3^2+4^2=9+16=25\)
✅ Oui, rectangle
Ex 1 · Résoudre \(x^2-5x+6=0\)
1Deux nombres de somme 5 et produit 6 : 2 et 3, donc \((x-2)(x-3)=0\)
✅ x = 2 ou x = 3
Ex 4 · Résoudre \(x^2+2x+1=0\)
1Identité remarquable : \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), donc \((x+1)^2=0\)
✅ x = −1 (solution double)
Ex 5 · Thalès AD=4, DB=2, AE=6
1\(AB=AD+DB=6\)
2\(\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{AC} \Rightarrow AC=9\)
✅ EC = AC−AE = 9−6 = 3
Ex 7 · Trigonométrie 45°
1\(\tan(45°)=1\), donc \(BC=10\times1\)
✅ BC = 10
Ex 1 · Résoudre \(x^2+3x-10=0\)
1Deux nombres de somme −3 et produit −10 : 2 et −5, donc \((x-2)(x+5)=0\)
✅ x = 2 ou x = −5
Ex 2 · Triangle rectangle en A, angle B=60°
1\(\cos(60°)=\dfrac{AB}{BC}=0{,}5\)
✅ BC = 6 ÷ 0,5 = 12
Ex 4 · \(x^2-2x-15=0\)
1Deux nombres de somme 2 et produit −15 : 5 et −3, donc \((x-5)(x+3)=0\)
✅ x = 5 ou x = −3
Ex 6 · Vérifier \((x-3)(x-4)=x^2-7x+12\)
1\((x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12\)
✅ Égalité vérifiée
Ex 7 · Triangle 13,5,12 rectangle ?
1\(13^2=169\), \(5^2+12^2=25+144=169\)
✅ Oui, rectangle
Ex 1 Contrôle · \(x^2-9=0\)
1\(x^2=9\)
✅ x = 3 ou x = −3
Ex 3 Contrôle · \(x^2-3x-4=0\)
1Deux nombres de somme 3 et produit −4 : 4 et −1, donc \((x-4)(x+1)=0\)
✅ x = 4 ou x = −1
Ex 4 Contrôle · Triangle rectangle en A, angle B=60°, BC=10
1\(\cos(60°)=\dfrac{AB}{BC}\)
✅ AB = 10 × 0,5 = 5
Ex 6 Contrôle · Thalès, calcule AE puis DE
1\(\dfrac{6}{10}=\dfrac{AE}{15} \Rightarrow AE=9\)
2\(\dfrac{6}{10}=\dfrac{DE}{20} \Rightarrow DE=12\)
✅ AE = 9, DE = 12
Ex 7 Contrôle · Factoriser \(x^2-8x+15\)
1Deux nombres de somme 8 et produit 15 : 3 et 5
✅ \((x-5)(x-3)\)