f(x) Généralités sur les fonctions
Ce qu'il faut savoir
- Fonction : à x on associe un unique f(x)
- Ensemble de définition \(D_f\)
- Image et antécédent
- Fonctions de référence
\(A(a;b) \in C_f \Leftrightarrow f(a)=b\)
Trouver l'ensemble de définition
- Repérer les divisions : le dénominateur ne doit pas être 0
- Repérer les racines carrées : l'intérieur doit être ≥ 0
- Combiner les conditions
- Ex : \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}\) → \(D_f=[-1;2[\cup]2;+\infty[\)
Image et antécédent
- Image de x = calculer f(x) directement
- Antécédent de y = résoudre f(x)=y
- Lecture graphique : image (verticalement), antécédent (horizontalement)
Pièges fréquents
- Une valeur peut avoir plusieurs antécédents, mais une seule image
- Ne pas oublier de vérifier toutes les conditions d'existence (division ET racine)
✏️ Exemple type
\(f(x)=x^2-3x\) : \(f(4)=16-12=4\). Antécédents de 4 : \(x^2-3x-4=0 \Rightarrow (x-4)(x+1)=0 \Rightarrow x=4\) ou \(x=-1\)
↗ Variations et extremums
Ce qu'il faut savoir
- Fonction croissante / décroissante
- Tableau de variations
- Maximum et minimum
- Variations d'un trinôme
\(x_1
Sommet trinôme : \(x_S=\dfrac{-b}{2a}\)
Étudier les variations d'un trinôme \(ax^2+bx+c\)
- Calculer \(x_S=\dfrac{-b}{2a}\)
- Si \(a>0\) : minimum en \(x_S\), décroissant à gauche, croissant à droite
- Si \(a<0\) : maximum en \(x_S\), croissant à gauche, décroissant à droite
- Dresser le tableau de variations
Pièges fréquents
- Le signe de \(a\) détermine si c'est un minimum ou un maximum
- Un extremum local n'est pas forcément le maximum/minimum sur tout l'ensemble de définition
✏️ Exemple type
\(f(x)=-x^2+4x-3\) : \(a=-1<0\), \(x_S=2\), \(f(2)=1\) → maximum = 1 en x=2
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
\(f(x)=2x+3\). Calcule \(f(2)\).
~1 ligne
Exercice 2★ Facile
\(f(x)=x^2-1\). Calcule \(f(3)\).
~2 lignes
Exercice 3★ Facile
\(f(x)=x^2-1\). Calcule \(f(0)\).
~1 ligne
Exercice 4★ Facile
\(f(x)=3x-5\). Trouve l'antécédent de 4, c'est-à-dire résous \(f(x)=4\).
~3 lignes
Exercice 5★ Facile
Sur \([0;+\infty[\), la fonction \(f(x)=x^2\) est-elle croissante ou décroissante ?
~1 ligne
Exercice 6★★ Intermédiaire
Calcule \(x_S\), l'abscisse du sommet du trinôme \(f(x)=x^2-4x+3\).
~2 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Quel est l'ensemble de définition de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) ?
~2 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2-2x\). Calcule \(f(3)\) et dis si 3 est solution de \(f(x)=3\).
~4 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Trouve l'ensemble de définition de \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\).
~3 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Trouve l'ensemble de définition de \(f(x)=\sqrt{x-2}\).
~3 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
\(f(x)=-x^2+6x-5\). Trouve \(x_S\), \(f(x_S)\), et dis s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
~5 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2+2x+1\). Trouve \(x_S\) et \(f(x_S)\).
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2-9\). Résous \(f(x)=0\).
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2-5x+6\). Trouve les antécédents de 0 (factorise d'abord).
~4 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Trouve l'ensemble de définition de \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\sqrt{x-2}\).
~5 lignes · combiner les conditions
Exercice 2★★★ Difficile
\(f(x)=2x^2-8x+3\). Trouve \(x_S\), \(f(x_S)\), et dresse le tableau de variations complet.
~6 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
\(f(x)=x^2-6x+5\). Résous \(f(x)=0\).
~4 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
\(f(x)=-3x^2+12x-5\). Trouve le maximum de \(f\).
~4 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
\(f(x)=x^2-4\). Trouve les antécédents de 0, puis les antécédents de 5.
~5 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
Une fonction \(f\) admet un minimum de \(-2\) en \(x=3\). Que peut-on dire de \(f(3)\) et de \(f(x)\) pour tout \(x\) ?
~4 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
\(f(x)=(x-1)^2-4\). Donne directement les coordonnées du sommet (sans développer).
~3 lignes · forme canonique
Exercice 8★★★★ Expert
\(f(x)=2x-1\) sur \([0;5]\). Calcule \(f(0)\) et \(f(5)\). La fonction est-elle croissante sur cet intervalle ?
~4 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) \(f(x)=3x^2-1\). Calcule \(f(2)\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Trouve l'ensemble de définition de \(f(x)=\dfrac{1}{x+4}\).
~3 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) \(f(x)=x^2-6x+8\). Trouve \(x_S\), \(f(x_S)\), et dis si c'est un maximum ou un minimum.
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Résous \(f(x)=0\) pour \(f(x)=x^2-6x+8\).
~5 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Trouve l'ensemble de définition de \(f(x)=\sqrt{2x-6}\).
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) \(f(x)=-2x^2+8x-3\). Trouve \(x_S\), \(f(x_S)\), dis si c'est un maximum ou un minimum, et dresse le tableau de variations.
~7 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Une fonction \(g\) admet un maximum de 7 en \(x=-2\). Écris cette information avec des inégalités.
~3 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · \(f(x)=2x+3\), calcule \(f(2)\)
1\(f(2)=2\times2+3\)
✅ \(f(2)=7\)
Ex 4 · Antécédent de 4 avec \(f(x)=3x-5\)
1\(3x-5=4 \Rightarrow 3x=9\)
✅ x = 3
Ex 6 · Sommet de \(f(x)=x^2-4x+3\)
1\(x_S=\dfrac{-(-4)}{2\times1}=\dfrac{4}{2}\)
✅ \(x_S=2\)
Ex 7 · \(D_f\) de \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)
1Le dénominateur ne doit pas être nul : \(x\neq0\)
✅ \(D_f = \mathbb{R}^*\)
Ex 1 · \(f(x)=x^2-2x\), \(f(3)\) et \(f(x)=3\)
1\(f(3)=9-6=3\)
✅ \(f(3)=3\), donc oui, 3 est solution de \(f(x)=3\)
Ex 2 · \(D_f\) de \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\)
1\(x-3\neq0 \Rightarrow x\neq3\)
✅ \(D_f=]-\infty;3[\cup]3;+\infty[\)
Ex 4 · \(f(x)=-x^2+6x-5\)
1\(x_S=\dfrac{-6}{2\times(-1)}=3\)
2\(f(3)=-9+18-5=4\)
✅ \(x_S=3\), \(f(3)=4\), maximum (car a=−1<0)
Ex 6 · Résoudre \(x^2-9=0\)
1\(x^2=9\)
✅ x = 3 ou x = −3
Ex 2 · \(f(x)=2x^2-8x+3\)
1\(x_S=\dfrac{8}{2\times2}=2\)
2\(f(2)=8-16+3=-5\)
✅ Minimum = −5 en x=2 (a=2>0). Décroissant sur ]−∞;2], croissant sur [2;+∞[
Ex 4 · Maximum de \(f(x)=-3x^2+12x-5\)
1\(x_S=\dfrac{-12}{2\times(-3)}=2\)
2\(f(2)=-12+24-5=7\)
✅ Maximum = 7
Ex 5 · Antécédents de 0 et 5 avec \(f(x)=x^2-4\)
1\(x^2-4=0 \Rightarrow x=2\) ou \(x=-2\)
2\(x^2-4=5 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=3\) ou \(x=-3\)
✅ Antécédents de 0 : 2 et −2 · Antécédents de 5 : 3 et −3
Ex 7 · Sommet de \(f(x)=(x-1)^2-4\)
1Forme canonique \((x-x_S)^2+f(x_S)\) : lecture directe
✅ Sommet en (1 ; −4)
Ex 1 Contrôle · \(f(x)=3x^2-1\), \(f(2)\)
1\(f(2)=3\times4-1\)
✅ f(2) = 11
Ex 3 Contrôle · \(f(x)=x^2-6x+8\)
1\(x_S=\dfrac{6}{2}=3\)
2\(f(3)=9-18+8=-1\)
✅ Minimum = −1 en x=3 (a=1>0)
Ex 4 Contrôle · Résoudre \(x^2-6x+8=0\)
1Factoriser : \((x-2)(x-4)=x^2-6x+8\)
✅ x = 2 ou x = 4
Ex 6 Contrôle · \(f(x)=-2x^2+8x-3\)
1\(x_S=\dfrac{-8}{2\times(-2)}=2\)
2\(f(2)=-8+16-3=5\)
✅ Maximum = 5 en x=2. Croissant sur ]−∞;2], décroissant sur [2;+∞[
📐 Visualisation interactive
Bouge les curseurs pour déplacer le sommet de la parabole \(f(x)=(x-h)^2+k\).
Fonction
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Sommet
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Extremum
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💡 Observation
Comme le coefficient devant \((x-h)^2\) est positif, la parabole a un minimum au sommet.
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Mode Examen — Fonctions
30 minutes · 10 questions · Score enregistré dans ton espace.