eˣ Fonction exponentielle
Ce qu'il faut savoir
- Propriétés algébriques de \(e^x\)
- \((e^x)'=e^x\), et composée \((e^u)'=u'e^u\)
- Toujours strictement positive et croissante
- Croissances comparées
\(e^{a+b}=e^a\times e^b\) · \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\)
Résoudre une équation avec exp
- Isoler l'exponentielle
- Utiliser ln : \(e^u=k \Rightarrow u=\ln k\) (si k>0)
- Ou utiliser la bijectivité : \(e^u=e^v \Rightarrow u=v\)
Dériver une composée
- Identifier u(x) dans \(e^{u(x)}\)
- Calculer u'(x)
- Appliquer \((e^u)'=u'e^u\)
Pièges fréquents
- \(e^{a+b}=e^a\times e^b\), PAS \(e^a+e^b\)
- \(e^x>0\) toujours : \(e^x=-1\) n'a pas de solution
✏️ Exemple type
Résoudre \(e^{2x}=e^{x+3}\) : bijectivité → \(2x=x+3\) → \(x=3\)
cos sin Fonctions trigonométriques
Ce qu'il faut savoir
- Cercle trigonométrique et valeurs remarquables
- Parité : cos pair, sin impair
- Dérivées de cos, sin, tan
- Équations trigonométriques
\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
\((\cos x)'=-\sin x\) · \((\sin x)'=\cos x\)
Résoudre une équation trigonométrique
- Identifier la valeur principale (arccos ou arcsin)
- cos : \(x=\pm a+2k\pi\)
- sin : \(x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\)
- Restreindre à l'intervalle demandé
Pièges fréquents
- Ne pas oublier les deux familles de solutions pour cos et sin
- Bien vérifier l'intervalle demandé après avoir trouvé toutes les solutions
✏️ Exemple type
Résoudre \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([0;2\pi]\) : \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=\dfrac{2\pi}{3}\)
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
Simplifie \(e^3 \times e^2\).
~2 lignes
Exercice 2★ Facile
Simplifie \(\dfrac{e^5}{e^2}\).
~2 lignes
Exercice 3★ Facile
Simplifie \((e^2)^3\).
~2 lignes
Exercice 4★ Facile
Résous \(e^x=e^3\).
~1 ligne
Exercice 5★ Facile
Calcule \(\cos(0)\).
~1 ligne
Exercice 6★ Facile
Calcule \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
~1 ligne
Exercice 7★ Facile
Calcule \(\cos(\pi)\).
~1 ligne
Exercice 8★★ Intermédiaire
Que vaut \(\cos^2 x+\sin^2 x\) pour tout x ?
~1 ligne
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
Résous \(e^{2x}=e^6\).
~2 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Résous \(e^x=1\).
~2 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Dérive \(f(x)=e^{3x}\).
~2 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
Dérive \(f(x)=e^{x^2}\).
~3 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
Calcule \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\).
~3 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Résous \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) sur \([0;2\pi]\).
~3 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
Résous \(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0;2\pi]\).
~3 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
Dérive \(f(x)=\sin(2x+1)\).
~3 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Résous \(e^{x^2-1}=1\).
~4 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
Dérive \(f(x)=e^{x^2-3x}\).
~4 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Résous \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\) sur \([0;2\pi]\).
~4 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
Résous \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) sur \([-\pi;\pi]\).
~5 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Simplifie \(e^{2x} \times e^{-x+1}\).
~3 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
Dérive \(f(x)=\cos(3x)\).
~3 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Détermine \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}\) (croissances comparées).
~3 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
Résous \(e^{x+1}=e^{2x-3}\).
~3 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) Simplifie \(e^4 \times e^{-2}\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Résous \(e^{3x}=e^9\).
~2 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Dérive \(f(x)=e^{5x-2}\).
~3 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) Résous \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([0;2\pi]\).
~4 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Calcule \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
~2 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) Dérive \(f(x)=xe^x\) (produit), puis étudie le signe de \(f'(x)\) selon les valeurs de x.
~6 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Résous \(\sin x=\dfrac{1}{2}\) sur \([0;2\pi]\).
~4 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · \(e^3\times e^2\)
1\(e^{a}\times e^{b}=e^{a+b}\)
✅ \(e^5\)
Ex 4 · Résoudre \(e^x=e^3\)
1Bijectivité de l'exponentielle
✅ x = 3
Ex 6 · \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
1Valeur remarquable sur le cercle trigonométrique
✅ 1
Ex 8 · \(\cos^2x+\sin^2x\)
1Identité fondamentale, valable pour tout x
✅ 1
Ex 1 · Résoudre \(e^{2x}=e^6\)
1Bijectivité : \(2x=6\)
✅ x = 3
Ex 4 · Dérivée de \(e^{x^2}\)
1\(u=x^2\), \(u'=2x\), \((e^u)'=u'e^u\)
✅ \(f'(x)=2xe^{x^2}\)
Ex 6 · Résoudre \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) sur [0;2π]
1Valeur principale : \(\dfrac{\pi}{3}\)
✅ x = π/3 ou x = 5π/3
Ex 8 · Dérivée de \(\sin(2x+1)\)
1\(u=2x+1\), \(u'=2\), \((\sin u)'=u'\cos u\)
✅ \(f'(x)=2\cos(2x+1)\)
Ex 1 · Résoudre \(e^{x^2-1}=1\)
1\(1=e^0\), donc \(x^2-1=0\)
✅ x = 1 ou x = −1
Ex 3 · Résoudre \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\) sur [0;2π]
1Valeur principale : \(\dfrac{2\pi}{3}\)
✅ x = 2π/3 ou x = 4π/3
Ex 5 · Simplifier \(e^{2x}\times e^{-x+1}\)
1Additionner les exposants : \(2x+(-x+1)\)
✅ \(e^{x+1}\)
Ex 7 · Limite de \(\dfrac{x^2}{e^x}\) en +∞
1Croissances comparées : l'exponentielle domine tout polynôme
✅ 0
Ex 1 Contrôle · \(e^4\times e^{-2}\)
1\(4+(-2)=2\)
✅ \(e^2\)
Ex 3 Contrôle · Dérivée de \(e^{5x-2}\)
1\(u=5x-2\), \(u'=5\)
✅ \(f'(x)=5e^{5x-2}\)
Ex 4 Contrôle · Résoudre \(\cos x=\sqrt{3}/2\) sur [0;2π]
1Valeur principale : \(\dfrac{\pi}{6}\)
✅ x = π/6 ou x = 11π/6
Ex 6 Contrôle · Dérivée et signe de \(f(x)=xe^x\)
1\(u=x, v=e^x\), \((uv)'=1\times e^x+x\times e^x=e^x(1+x)\)
2\(e^x>0\) toujours, donc signe de f' = signe de (x+1)
✅ f'(x)<0 pour x<−1, f'(x)>0 pour x>−1