f' Dérivation
Ce qu'il faut savoir
- Nombre dérivé et équation de tangente
- Dérivées usuelles
- Règles de dérivation (somme, produit, quotient)
Tangente en a : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
\((x^n)'=nx^{n-1}\) · \((uv)'=u'v+uv'\) · \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
Dériver un produit
- Identifier u et v dans le produit
- Calculer u' et v'
- Appliquer \((uv)'=u'v+uv'\)
Trouver l'équation d'une tangente
- Calculer f(a)
- Calculer f'(a)
- Écrire \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Pièges fréquents
- \((uv)' \neq u'v'\) : il faut appliquer la formule du produit
- Ne pas oublier la constante : \((k)'=0\)
✏️ Exemple type
Tangente à \(f(x)=x^2+1\) en x=2 : \(f(2)=5\), \(f'(2)=4\) → \(y=4x-3\)
↗↘ Variations et courbes
Ce qu'il faut savoir
- Signe de f' détermine les variations
- Extremum local : f'(a)=0 avec changement de signe
- Convexité : signe de f''
- Maximum/minimum global sur un intervalle
f croissante ⟺ \(f'\geq0\) · f convexe ⟺ \(f''\geq0\)
Dresser le tableau de variations
- Calculer f'(x)
- Résoudre f'(x)=0
- Étudier le signe de f' sur chaque intervalle
- Placer les flèches ↗↘ et les valeurs aux extremums
Trouver le maximum global sur [a;b]
- Repérer les extremums locaux dans l'intervalle
- Calculer aussi f(a) et f(b) (les bornes)
- Comparer toutes ces valeurs
Pièges fréquents
- f'(a)=0 ne suffit pas toujours : il faut vérifier un changement de signe
- Le maximum global n'est pas toujours un extremum local : penser aux bornes
✏️ Exemple type
\(f(x)=x^3-3x+1\) : \(f'=3(x-1)(x+1)\), max en −1 : f(−1)=3, min en 1 : f(1)=−1
4 séries progressives · Imprimables avec espace réponse
📗 Série 1 — Découverte
Exercice 1★ Facile
Dérive \(f(x)=x^2\).
~1 ligne
Exercice 2★ Facile
Dérive \(f(x)=3x+5\).
~1 ligne
Exercice 3★ Facile
Dérive \(f(x)=x^3\).
~1 ligne
Exercice 4★ Facile
Dérive \(f(x)=5\) (fonction constante).
~1 ligne
Exercice 5★ Facile
\(f(x)=x^2\). Calcule \(f'(2)\).
~2 lignes
Exercice 6★ Facile
Dérive \(f(x)=x^2-4x+3\).
~2 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
\(f'(x)=2x-4\). Résous \(f'(x)=0\).
~2 lignes
Exercice 8★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2\). Est-elle croissante sur \([0;+\infty[\) ? Justifie avec \(f'\).
~3 lignes
📘 Série 2 — Application
Exercice 1★★ Intermédiaire
Dérive \(f(x)=2x^3-3x^2+x\).
~2 lignes
Exercice 2★★ Intermédiaire
Dérive \(f(x)=(x+1)(x-2)\) (utilise la formule du produit).
~5 lignes
Exercice 3★★ Intermédiaire
Trouve l'équation de la tangente à \(f(x)=x^2\) en \(x=3\).
~4 lignes
Exercice 4★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2-6x+5\). Dresse le tableau de signe de \(f'\).
~4 lignes
Exercice 5★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^3-3x\). Calcule \(f'(x)\) et résous \(f'(x)=0\).
~4 lignes
Exercice 6★★ Intermédiaire
Dérive \(f(x)=(2x-1)(x+3)\).
~4 lignes
Exercice 7★★ Intermédiaire
\(f(x)=x^2-2x+3\). Calcule \(f''(x)\). La fonction est-elle convexe ?
~4 lignes
📙 Série 3 — Approfondissement
Exercice 1★★★ Difficile
Dérive \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\) (formule du quotient).
~4 lignes
Exercice 2★★★ Difficile
\(f(x)=x^3-6x^2+9x\). Étudie complètement les variations (calcule \(f'\), son signe, dresse le tableau).
~7 lignes
Exercice 3★★★ Difficile
Trouve l'équation de la tangente à \(f(x)=x^3\) en \(x=1\).
~4 lignes
Exercice 4★★★ Difficile
\(f(x)=2x^3-9x^2+12x\). Trouve les extremums locaux.
~6 lignes
Exercice 5★★★ Difficile
Dérive \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}\).
~4 lignes
Exercice 6★★★ Difficile
\(f(x)=x^4-8x^2\). Trouve les points d'inflexion (utilise \(f''\)).
~5 lignes
Exercice 7★★★★ Expert
Sur \([-2;3]\), \(f(x)=x^3-3x+1\). Trouve le maximum global.
~6 lignes
Exercice 8★★★★ Expert
Démontre que \(f(x)=x^3+x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
~4 lignes
📕 Série 4 — Entraînement type contrôle
Exercice 1Contrôle
(3 pts) Dérive \(f(x)=4x^3-2x^2+7\).
~2 lignes
Exercice 2Contrôle
(3 pts) Dérive \(f(x)=(x-2)(x+5)\).
~4 lignes
Exercice 3Contrôle
(4 pts) Trouve l'équation de la tangente à \(f(x)=x^2-3x\) en \(x=2\).
~5 lignes
Exercice 4Contrôle
(4 pts) \(f(x)=x^3-12x\). Étudie les variations.
~6 lignes
Exercice 5Contrôle
(3 pts) Résous \(f'(x)=0\) pour \(f(x)=x^2-8x+5\).
~3 lignes
Exercice 6★★★★ Synthèse
(5 pts) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\). Étudie complètement les variations.
~7 lignes
Exercice 7★★★★ Synthèse
(4 pts) Dérive \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\).
~4 lignes
Correction complète · Téléchargeable
Ex 1 · Dérivée de x²
1\((x^n)'=nx^{n-1}\) avec n=2
✅ f'(x) = 2x
Ex 5 · f(x)=x², calcule f'(2)
1\(f'(x)=2x\), donc \(f'(2)=2\times2\)
✅ f'(2) = 4
Ex 6 · Dérivée de x²-4x+3
1Dériver chaque terme séparément
✅ f'(x) = 2x − 4
Ex 8 · x² croissante sur [0;+∞[ ?
1\(f'(x)=2x \geq 0\) pour \(x\geq0\)
✅ Oui, f' est positive donc f est croissante
Ex 2 · Dérivée de (x+1)(x-2)
1u=x+1, v=x−2, u'=1, v'=1
2\((uv)'=1\times(x-2)+(x+1)\times1\)
✅ f'(x) = 2x − 1
Ex 3 · Tangente à x² en x=3
1\(f(3)=9\), \(f'(3)=6\)
✅ y = 6x − 9
Ex 5 · f(x)=x³-3x, f' et racines
1\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)
✅ f'(x)=0 pour x=1 ou x=−1
Ex 7 · Convexité de x²-2x+3
1\(f'(x)=2x-2\), \(f''(x)=2\)
✅ f''(x)=2>0 : convexe partout
Ex 1 · Dérivée de x/(x+1)
1u=x, v=x+1, u'=1, v'=1
2\(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}\)
✅ \(f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\)
Ex 3 · Tangente à x³ en x=1
1\(f(1)=1\), \(f'(x)=3x^2\), \(f'(1)=3\)
✅ y = 3x − 2
Ex 5 · Dérivée de (3x+2)/(x-1)
1u=3x+2, v=x−1, u'=3, v'=1
2\(\dfrac{3(x-1)-(3x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-5}{(x-1)^2}\)
✅ \(f'(x)=\dfrac{-5}{(x-1)^2}\)
Ex 8 · f(x)=x³+x croissante ?
1\(f'(x)=3x^2+1\)
2\(3x^2\geq0\) donc \(3x^2+1\geq1>0\) toujours
✅ f'(x)>0 pour tout x, donc f est strictement croissante
Ex 1 Contrôle · Dérivée de 4x³-2x²+7
1Dériver terme par terme
✅ f'(x) = 12x² − 4x
Ex 3 Contrôle · Tangente à x²-3x en x=2
1\(f(2)=-2\), \(f'(x)=2x-3\), \(f'(2)=1\)
✅ y = x − 4
Ex 4 Contrôle · f(x)=x³-12x, variations
1\(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\)
2Max en x=−2 : f(−2)=16 · Min en x=2 : f(2)=−16
✅ Croissante sur ]−∞;−2], décroissante sur [−2;2], croissante sur [2;+∞[
Ex 6 Contrôle · f(x)=x³-3x²-9x+5, variations
1\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)\)
2Max en x=−1 : f(−1)=10 · Min en x=3 : f(3)=−22
✅ Croissante, puis décroissante sur ]−1;3[, puis croissante